如图①,油纸伞是中国传统工艺品之一,起源于中国的一种纸制或布制伞.油纸伞的制作工艺十分巧妙,如图②,伞圈$D$沿着伞柄$AP$滑动时,伞柄$AP$始终平分同一平面内两条伞骨所成的$\angle BAC$,伞骨$BD$,$CD$的$B$,$C$点固定不动,且到点$A$的距离$AB=AC$.
$(1)$当$D$点在伞柄$AP$上滑动时,处于同一平面的两条伞骨$BD$和$CD$相等吗?请说明理由.
$(2)$如图③,当油纸伞撑开时,伞的边缘$M$,$N$与点$D$在同一直线上,且$AM=AN$,若$\angle BAC=140^{\circ}$,$\angle MBD=120^{\circ}$,求$\angle CDN$的度数.