如图,在$\triangle ABC$中,$O$为$AC$上一点,以点$O$为圆心,$OC$为半径作圆,与$BC$相切于点$C$,过点$A$作$AD\bot BO$交$BO$的延长线于点$D$,且$\angle AOD=\angle BAD$.
$(1)$若$\angle AOD=60^{\circ}$,则$\angle CBD=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$；
$(2)$求证:$AB$为$\odot O$的切线；
$(3)$若$AC=8$,$\tan \angle BAC=\frac{3}{4}$,求$OD$的长.