阅读下面的文字,解答问题.
大家知道$\sqrt{2}$是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来,但是由于$1 \lt \sqrt{2} \lt 2$,所以$\sqrt{2}$的整数部分为$1$,将$\sqrt{2}$减去其整数部分$1$,差就是小数部分为（$\sqrt{2}-1)$.解答下列问题:
$(1)\sqrt{10}$的整数部分是______,小数部分是______；
$(2)$如果$\sqrt{6}$的小数部分为$a$,$\sqrt{13}$的整数部分为$b$,求$a+b-\sqrt{6}$的值；
$(3)$已知$12+\sqrt{3}=x+y$,其中$x$是整数,且$0 \lt y \lt 1$,求$x-y$的相反数.