将$a$克糖放入水中,得到$b$克糖水,此时糖水的含糖量我们可以记为$\frac{a}{b}(b \gt a \gt 0)$.
$(1)$再往杯中加入$m\left(m \gt 0\right)$克糖,生活中的经验告诉我们糖水变甜了,用数学关系式可以表示为______；
$A$.$\frac{a+m}{b+m} \gt \frac{a}{b}$
$B$.$\frac{a+m}{b+m}=\frac{a}{b}$
$C$.$\frac{a+m}{b+m} \lt \frac{a}{b}$
$(2)$请证明你的选择.