将$a$克糖放入水中,得到$b$克糖水,此时糖水的含糖量我们可以记为$\frac{a}{b}(b \gt a \gt 0)$.
$(1)$【操作发现】再往杯中加入$m\left(m \gt 0\right)$克糖,生活中的经验告诉我们糖水变甜了,用数学关系式可以表示为$\frac{a+m}{b+m}$______$\frac{a}{b}($填"$\gt$""$\lt$"或"$=$"）；
$(2)$【探究论证】请证明（1）中的结论正确.