【问题提出】
课堂上,老师提出了下面的问题:
$3a \gt b \gt 0$,$M=\frac{a}{b}$,$N=\frac{a+1}{b+3}$,试比较$M$与$N$的大小.
小华:整式的大小比较可采用"作差法".
老师:比较$x^{2}+1$与$2x-1$的大小.
小华:$\because (x^{2}+1)-\left(2x-1\right)=x^{2}+1-2x+1=\left(x-1\right)^{2}+1 \gt 0$
$\therefore x^{2}+1 \gt 2x-1$.
老师:分式的大小比较能用"作差法"吗?
$\ldots$
【问题解决】
$(1)$请用"作差法"完成老师提出的问题.
【问题应用】
数学来源于生活,生活中处处有数学,我们用平时喝的糖水做"糖水实验"也能验证一些数学结论.现有$a$克糖水,其中含有$b$克糖$\left(a \gt b \gt 0\right)$,则糖水的浓度（即糖与糖水的质量比）为$\frac{b}{a}$.
实验$1$:加入$m$克水,则糖水的浓度为$\frac{b}{a+m}$﹒生活经验告诉我们,糖水加水后甜味会变淡,由此可以写出一个不等式:$\frac{b}{a}＞\frac{b}{a+m}$,我们趣称为"糖水不等式".
$(2)$实验$2$:将"实验$1$"中的"加入$m$克水"改为"加入$m$克糖",则糖水的浓度发生了变化,根据生活经验,请你写出一个新的"糖水不等式":______,并验证你写的不等式的正确性.
$(3)$设$a$、$b$、$c$为$\triangle ABC$三边的长,根据上述实验$2$的结论,求证:$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}＜2$.