【方法总结】如何比较两个数的大小,我们常采用作差或作商的方法,其实有时候用"平方法"来比较大小也会取得很好的效果.例如,比较$a=2\sqrt{3}$和$b=3\sqrt{2}$的大小,我们可以把$a$和$b$分别平方.$\therefore a^{2}=12$,$b^{2}=18$,则$a^{2} \lt b^{2}$,$\therefore a \lt b$.
请利用"平方法"解决下面问题:
$(1)$比较$c=4\sqrt{2},d=2\sqrt{7}$大小$,c \_\_\_\_\_\_d($填写"$\gt$""$\lt$"或"$=$").
$(2)$猜想$m=2\sqrt{5}+\sqrt{6},n=2\sqrt{3}+\sqrt{14}$之间的大小,并说明理由.
【拓展延伸】当然除了"平方法"外,分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小.例如,
比较$\sqrt{7}-\sqrt{6}$和$\sqrt{6}-\sqrt{5}$的大小,可以先将它们分子有理化如下:$\sqrt{7}-\sqrt{6}=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$,$\sqrt{6}-\sqrt{5}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$.
$\because \sqrt{7}+\sqrt{6}＞\sqrt{6}+\sqrt{5}$,$\therefore \sqrt{7}-\sqrt{6}＜\sqrt{6}-\sqrt{5}$.
$(3)$根据材料,请选择合适的方法比较$\sqrt{2025}-\sqrt{2024}$与$\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$的大小,写出具体比较过程.