【提出问题】已知$x-y=2$,且$x \gt 1$,$y \lt 0$,试确定$x+y$的取值范围.
【分析问题】先根据已知条件用$y$去表示$x$,然后根据题中已知$x$的取值范围,构建$y$的不等式,从而确定$y$的取值范围,同理再确定$x$的取值范围,最后利用不等式的性质即可解决问题.
【解决问题】解:$\because x-y=2$,$\therefore x=y+2$.
$\because x \gt 1$,$\therefore y+2 \gt 1$,$\therefore y \gt -1$.
$\because y \lt 0$,$\therefore -1 \lt y \lt 0$,①
同理,得$1 \lt x \lt 2$.②
由①$+$②,得$-1+1 \lt y+x \lt 0+2$,
$\therefore x+y$的取值范围是$0 \lt x+y \lt 2$.
【尝试应用】（1）已知$x-y=-3$,且$x \lt -1$,$y \gt 1$,求$x+y$的取值范围；
$(2)$已知$y \gt 1$,$x \lt -1$,若$x-y=a$成立,求$x+y$的取值范围（结果用含$a$的式子表示).