为了比较两个实数的大小,常用的方法是判定这两个数的差的符号,我们称这种方法为"作差比较法".要比较两个代数式的大小,同样可以采用类似的方法.因此,可以利用不等式比较大小.如果要证明$A \gt B$,只需要证明$A-B \gt 0$；同样的,要证明$A \lt B$,只需要证明$A-B \lt 0$.
例如:
小明对于命题:任意的实数$a$和$b$,总有$a^{2}+b^{2}\geqslant 2ab$,当$a=b$并且只有$a=b$时,等号成立,给出了如下证明:
证明:$\because a^{2}+b^{2}-2ab=\left(a-b\right)^{2}\geqslant 0$,
$\therefore a^{2}+b^{2}\geqslant 2ab$,当$a=b$并且只有$a=b$时,等号成立.
$(1)$请仿照小明的证明方法,证明如下命题:
若$a$,$b$,$x$,$y\geqslant 0$,且$a\geqslant x$,则$\left(a-x\right)^{2}+\left(b-y\right)^{2}\leqslant \left(a+b-x\right)^{2}+y^{2}$.
$(2)$若$a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \ldots \ldots \geqslant a_{n}\geqslant 0$,$b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \ldots \ldots \geqslant b_{n}\geqslant 0$,
且$a_{1}+a_{2}+\ldots \ldots +a_{n}=b_{1}+b_{2}+\ldots \ldots +b_{n}=1$,
求$(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\ldots \ldots +(a_{n}-b_{n})^{2}$的最大值.