我们知道:不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变.不等式组是否也具有一些特殊的性质?请解答下列问题:
$(1)$完成下列填空（填"$\gt$"或"$\lt$"）,
已知$\left\{\begin{array}{l}{3＞1}\\{5＞2}\end{array}\right.$可得$3+5 \_\_\_\_\_\_1+2$；已知$\left\{\begin{array}{l}{-1＞-3}\\{0＞-1}\end{array}\right.$可得$-1+0 \_\_\_\_\_\_-3-1$；已知$\left\{\begin{array}{l}{-2＜3}\\{1＜2}\end{array}\right.$可得$-2+1 \_\_\_\_\_\_3+2$；
$(2)$一般地,如果$\left\{\begin{array}{l}{a＜b}\\{c＜d}\end{array}\right.$那么$a+c \_\_\_\_\_\_b+d($用"$\lt$"或"$\gt$"填空）,请你利用不等式的基本性质说明上述不等式的正确性.
$(3)$已知$x-y=2$,且$x \gt 1$,$y \lt 0$,请直接写出$x+y$的取值范围.