某景区内的环形路是边长为$800$米的正方形$ABCD$,如图$1$和图$2$.现有$1$号、$2$号两游览车分别从出口$A$和景点$C$同时出发,$1$号车顺时针、$2$号车逆时针沿环形路连续循环行驶,供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计）,两车速度均为$200$米$/$分.

探究:设行驶时间为$t$分.
$(1)$当$0\leqslant t\leqslant 8$时,分别写出$1$号车、$2$号车在左半环线离出口$A$的路程$y_{1}$,$y_{2}($米）与$t(分)$的函数关系式,并求出当两车相距的路程是$400$米时$t$的值；
$(2)t$为何值时,$1$号车第三次恰好经过景点$C$?并直接写出这一段时间内它与$2$号车相遇过的次数.
发现:如图$2$,游客甲在$BC$上的一点$K($不与点$B$,$C$重合）处候车,准备乘车到出口$A$,设$CK=x$米.
情况一:若他刚好错过$2$号车,便搭乘即将到来的$1$号车；
情况二:若他刚好错过$1$号车,便搭乘即将到来的$2$号车.
比较哪种情况用时较多?(含候车时间）
决策:已知游客乙在$DA$上从$D$向出口$A$走去.步行的速度是$50$米$/$分.当行进到$DA$上一点$P($不与点$D$,$A$重合）时,刚好与$2$号车迎面相遇.
$(1)$他发现,乘$1$号车会比乘$2$号车到出口$A$用时少,请你简要说明理由；
$(2)$设$PA=s\left(0 \lt s \lt 800\right)$米.若他想尽快到达出口$A$,根据$s$的大小,在等候乘$1$号车还是步行这两种方式中.他该如何选择?