文具店购进了$20$盒"$2B$"铅笔,但在销售过程中,发现其中混入了若干"$HB$"铅笔.店员进行统计后,发现每盒铅笔中最多混入了$2$支"$HB$"铅笔,具体数据见下表:

混入"$HB$"铅笔数	$0$	$1$	$2$
盒数	$6$	$m$	$n$

$(1)$用等式写出$m$,$n$所满足的数量关系______；
$(2)$从$20$盒铅笔中任意选取$1$盒,若"盒中混入$1$支‘$HB$’铅笔"的概率为$\frac{1}{4}$,求$m$和$n$的值.