在长方形$ABCD$中,$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ}$,$AB=CD=5$,$BC=AD=4$.
$(1)$如图$1$,$P$为$BC$边上一点,将$\triangle ABP$沿直线$AP$翻折至$\triangle APQ$的位置,其中点$Q$是点$B$的对称点,当点$Q$落在$CD$边上时,请你直接写出$DQ$的长为______.
$(2)$如图$2$,点$E$是$AB$边上一动点,过点$E$作$EF\bot DE$交$BC$边于点$F$,将$\triangle BEF$沿直线$EF$翻折得$\triangle {B\’}EF$,连接$DB\’$,当$\triangle DEB\’$是以$DE$为腰的等腰三角形时,求$AE$的长；
$(3)$如图$3$,点$M$是射线$AB$上的一个动点,将$\triangle ADM$沿$DM$翻折,其中点$A$的对称点为${A\’}$,当${A\’}$,$M$,$C$三点在同一直线上时,请直接写出$AM$的长.