问题情境:学习完平行四边形的性质和判定后,某数学小组遇到了以下问题:如图,▱$ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,点$E$、$F$分别在$OB$和$OD$上.
问题$1$:当$\angle AEB$与$\angle CFD$满足什么条件时,四边形$AECF$是平行四边形?
请说明理由.
小明:当$\angle AEB=\angle CFD$时,四边形$AECF$是平行四边形.
理由如下:
$\because \angle AEB=\angle CFD$,
$\therefore 180^{\circ}-\angle AEB=180^{\circ}-\angle CFD$.
即$\angle AEO=\angle CFO$.
$\therefore AE$∥$CF.$
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AO=CO.($依据$1)$
又$\because \angle AOE=\angle COF$,
$\therefore \triangle AOE$≌$\triangle COF.$
$\therefore AE=CF$.
$\therefore$四边形$AECF$是平行四边形.(依据$2)$
问题$2$:当$BE$、$DF$满足什么条件时,四边形$AECF$是平行四边形?请说明理由.
小红:当$BE=DF$时,四边形$AECF$是平行四边形.
理由如下:$\ldots \ldots$
数学思考:
$(1)$请你写出小明推理过程中的"依据$1$"和"依据$2$"；
依据$1:$______；
依据$2:\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$请你帮助小红写出问题$2$的证明过程.