如图,$BE$为$\odot O$的直径,点$A$和点$D$是$\odot O$上的两点,连接$AE$,$AD$,$DE$,过点$A$作射线交$BE$的延长线于点$C$,使$\angle EAC=\angle EDA$.
$(1)$求证:$AC$是$\odot O$的切线；
$(2)$若$AD\bot BC$于点$F$,$DE=4$,$OF=2$,求图中阴影部分的面积.