如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$AB=8cm$,$BC=6cm$,$D$是$AC$边上的中点.过点$C$作$AC$的垂线$CE$,过点$D$作$BC$的平行线,交$CE$于点$E$,点$P$从点$E$到点$D$沿$ED$方向匀速运动,速度为$2cm/s$,同时点$Q$从点$B$到点$C$沿$BC$方向匀速运动,速度为$1cm/s$.连接$PQ$,过点$P$作$PF\bot CE$于点$F$,连接$FQ$.设运动时间为$t\left(s\right)(0 \lt t \lt \frac{25}{6})$,解答下列问题:
$(1)$当$t$为何值时,四边形$BDPQ$为平行四边形?
$(2)$当$t$为何值时,点$P$在$\angle ABC$的平分线上?
$(3)$当$t$为何值时,四边形$EFQP$的面积为$\frac{57}{10}$.