课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图$1$,$\triangle ABC$中,若$AB=6$,$AC=4$,求$BC$边上的中线$AD$的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:如图$1$所示,延长$AD$到点$E$,使$DE=AD$,连接$BE$.请根据小明的思路继续思考:

$(1)$由已知和作图能证得$\triangle ADC$≌$\triangle EDB$,得到$BE=AC$,在$\triangle ABE$中求得$2AD$的取值范围,从而求得$AD$的取值范围是______.
方法总结:上述方法我们称为"倍长中线法"."倍长中线法"多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.
$(2)$如图$2$,$AD$是$\triangle ABC$的中线,$AB=AE$,$AC=AF$,$\angle BAE+\angle CAF=180^{\circ}$,试判断线段$AD$与$EF$的数量关系,并加以证明.
$(3)$如图$3$,在$\triangle ABC$中,$D$,$E$是$BC$的三等分点.求证:$AB+AC \gt AD+AE$.