如图所示,在平面直角坐标系中,$O$为坐标原点,四边形$ABCO$是菱形,点$A$的坐标为$\left(-3,4\right)$,点$C$在$x$轴正半轴上,直线$AC$交$y$轴于点$M$,$AB$边交$y$轴于点$H$.
$(1)$①求出直线$AC$的函数解析式；②点$M$的坐标为______,$MH$的长为______；
$(2)$当点$P$从点$A$出发在线段$AB$上以每秒$1$个单位的速度运动时,是否存在以$BM$为腰的等腰$\triangle PBM$?如存在,求出$t$的值；如不存在,说明理由.
$(3)$连接$BM$,当动点$P$从点$A$出发,沿折线$A\rightarrow B\rightarrow C$方向以每秒$1$个单位的速度向终点$C$匀速运动,设$\triangle PMB$的面积为$S\left(S\neq 0\right)$,点$P$的运动时间为$t$秒,求$S$与$t$之间的函数关系式,并写出自变量$t$的取值范围.