如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=x^{2}+bx+c(b$、$c$是常数）与$x$轴的两个交点分别为$A\left(-1,0\right)$、$B\left(3,0\right)$.点$M\left(m,0\right)$是$x$轴上一点,过点$M$作$x$轴的垂线交抛物线于点$P$,点$D$是线段$PM$的中点,当点$M$和点$P$不重合时,以$PD$为边,在$PD$的右侧作矩形$PQND$,且矩形$PQND$的边$PQ$的长为$3$.
$(1)$求该抛物线对应的函数解析式；
$(2)$当$-1 \lt x\leqslant 4$时,$y$的取值范围是______；
$(3)$当矩形$PQND$同时有两个顶点落在此抛物线上时,求$m$的值；
$(4)$当此抛物线在矩形$PQND$内部的点的纵坐标$y$随$x$的增大而增大时,直接写出$m$的取值范围.