$(1)$问题背景:如图$1$,$\angle ACB=\angle ADE=90^{\circ}$,$AC=BC$,$AD=DE$,求证:$\triangle ABE$∽$\triangle ACD$；
$(2)$尝试应用:如图$2$,$E$为正方形$ABCD$外一点,$\angle BED=45^{\circ}$,过点$D$作$DF\bot BE$,垂足为$F$,连接$CF$,若$CF=\sqrt{2}$,求$BE$的值；
$(3)$拓展创新:如图$3$,四边形$ABCD$是正方形,点$F$是线段$CD$上一点,以$AF$为对角线作正方形$AEFG$,连接$DE$,$BG$.当$DF=1$,$S_{四边形AEDF}=5$时,求$DE$的长.