学完一元二次方程和相似三角形后,老师给同学们出了如下题目:
如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$BC=6cm$,$AC=8cm$,点$P$由$C$点出发以$2cm/s$的速度向终点$A$匀速移动,同时点$Q$由点$B$出发以$1cm/s$的速度向终点$C$匀速移动,当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动.
老师问了三个不同问题:
$(1)$方程应用:如图$1$,经过______秒,$PQ$的长为$4\sqrt{2}cm$?
$(2)$相似探讨:如图$1$,经过几秒,$\triangle PCQ$与$\triangle ACB$相似?请写出你的计算过程.
$(3)$拓展延伸:如图$2$,如果点$P$仍在$AC$上由$C$点出发以$2cm/s$的速度向终点$A$匀速移动,但点$Q$在$AB$上由点$A$点出发以$2.5cm/s$的速度向终点$B$匀速移动,经过______秒,$\triangle APQ$是等腰三角形.