如图$1$,在平面直角坐标系中,直线$l_{1}$:$y=nx+1$与$x$轴交于点$C$,与$y$轴交于点$D$,直线$l_{2}$:$y=mx+2$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,满足$OA=2OB$；与直线$l_{1}$交于点$E$,且点$E$的横坐标为$1$.

$(1)$求$m$,$n$的值；
$(2)$求四边形$AEDO$的面积；
$(3)$如图$2$,点$F$是线段$AE$上的一动点,过点$F$作$y$轴的平行线交直线$l_{1}$于点$G$,连接$OE$、$OF$；若$S_{\triangle OEF}=S_{\triangle GEF}$,求点$G$的坐标.