请阅读下列材料,并完成相应的任务.

勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,大约有五百多种证明方法,下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达$\cdot$芬奇的证明方法. 赵爽利用$4$个全等的直角三角形拼成如图$1$所示的"弦图"（史称"赵爽弦图"）,其中$a$,$b$和$c$分别表示直角三角形的两直角边和斜边,四边形$ABDE$和四边形$CFGH$是正方形. 达$\cdot$芬奇用如图$2$所示的方法证明,其中剪开前的空白部分由$2$个正方形和$2$个全等的直角三角形组成,面积记为$S_{1}$；剪开翻转后的空白部分由$2$个全等的直角三角形和$1$个正方形组成,面积记为$S_{2}$.

任务:
$(1)$下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程,请你帮她补充完整.
证明:由图$1$,知$S_{正方形ABDE}=4S_{\triangle ABC}+S_{正方形CFGH}$,正方形$CFGH$的边长为______.
$\because S_{正方形ABDE}=c^{2}$,$S_{\triangle ABC}=$______,$S_{正方形CFGH}=$______,
$\therefore c^2=4×\frac{1}{2}ab+(a-b)^2=2ab+a^2-2ab+b^2$,即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
$(2)$请你参照小颖的验证过程,利用图$2$及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程.