如图,在半径为$2$的扇形$AOB$中,$\angle AOB=90^{\circ}$,点$C$是弧$AB$上的一个动点（不与点$A$、$B$重合$)OD\bot BC$,$OE\bot AC$,垂足分别为$D$、$E$.
$(1)$当$BC=1$时,求线段$OD$的长；
$(2)$在$\triangle DOE$中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由；
$(3)$设$BD=x$,$\triangle DOE$的面积为$y$,求$y$关于$x$的函数关系式,并写出它的定义域.