给出定义:如果两个实数$m$,$n$使得关于$x$的分式方程$\frac{m}{x}-n=1$的解是$x=\frac{1}{m-n}$成立,那么我们就把实数$m$,$n$组成的数对$\lt m$,$n \gt$称为关于$x$的分式方程$\frac{m}{x}-n=1$的一个"梦想数对".
例如:当$m=3$,$n=2$时,使得关于$x$的分式方程$\frac{3}{x}-2=1$的解是$x=\frac{1}{3-2}=\frac{1}{1}=1$成立,所以数对$\left(3,2\right)$称为关于$x$的分式方程$\frac{m}{x}-n=1$的一个"梦想数对".
$(1)$在数对①$\lt 1$,$0 \gt$；②$\lt -2$,$3 \gt$；③$\lt \frac{1}{2}$,$-\frac{1}{2} \gt$中$,\_\_\_\_\_\_(只填序号)$是关于$x$的分式方程$\frac{m}{x}-n=11$的"梦想数对".
$(2)$若数对$\lt a-3$,$2+a \gt$是关于$x$的分式方程$\frac{m}{x}-n=1$的一个"梦想数对",求$a$的值.
$(3)$若数对$\lt c+d$,$d \gt (c\neq \pm 1$且$c\neq 0)$是关于$x$的分式方程$\frac{m}{x}-n=1$的一个"梦想数对",且关于$y$的方程$dy-c+1=0$有整数解,直接写出整数$c$的值.