阅读下列材料:
在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替（即换元）,不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为"换元法".下面是小涵同学用换元法对多项式$(x^{2}-4x+1)(x^{2}-4x+7)+9$进行因式分解的过程.
解:设$x^{2}-4x=y$
原式$=\left(y+1\right)\left(y+7\right)+9(第一步)$
$=y^{2}+8y+16(第二步)$
$=\left(y+4\right)^{2}($第三步）
$=(x^{2}-4x+4)^{2}($第四步）
请根据上述材料回答下列问题:
$(1)$小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的______；
$A$.提取公因式法
$B$.平方差公式法
$C$.完全平方公式法
$(2)$老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果:______；
$(3)$请你用换元法对多项式$(x^{2}+2x)(x^{2}+2x+2)+1$进行因式分解.