$10$.阅读下面材料,解答后面的问题.解方程:$\frac{x-1}{x}-\frac{4x}{x-1}=0$.解:设$y=\frac{x-1}{x}$,则原方程化为:$y-\frac{4}{y}=0$,方程两边同时乘$y$得:$y^{2}-4=0$,解得:$y=\pm 2$,经检验:$y=\pm 2$都是方程$y-\frac{4}{y}=0的解$,$\therefore 当y=2时,\frac{x-1}{x}=2$,解得:$x=-1$,当$y=-2$时,$\frac{x-1}{x}=-2$,解得:$x=\frac{1}{3}$,经检验:$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$都是原分式方程的解,$\therefore$原分式方程的解为$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$.上述这种解分式方程的方法称为换元法.问题:
$(1)$若在方程$\frac{x-1}{4x}-\frac{x}{x-1}=0$中,设$y=\frac{x-1}{x}$,则原方程可化为:______；
$(2)$若在方程$\frac{x-1}{x+1}-\frac{4x+4}{x-1}=0$中,设$y=\frac{x-1}{x+1}$,则原方程可化为:______；
$(3)$模仿上述换元法解方程:$\frac{x-1}{x+2}-\frac{3}{x-1}-1=0$.