抗洪救灾重建家园,修建被洪水冲毁的一条公路,若由甲工程队单独修需$3$个月完成,每月耗资$12$万元；若由乙工程队单独修建需$6$个月完成,每月耗资$5$万元.
$(1)$甲、乙两工程队合作修建需几个月完成?共耗资多少万元?
$(2)$若要求最迟$4$个月完成修建任务,请你设计一种方案,既保证按时完成任务,又最大限度节省资金.(时间按整月计算）