张同学在深入研究课本$82$页第$2$题时发现:如图$\left(1\right)$,一架梯子$AB$斜靠在竖直墙$OA$上,梯子底端点$B$距离墙角$O$的距离是$3m$,此时梯子到达的垂直高度$OA$是$4m$,通过计算可以得到梯子$AB$的长为______$m,$爱动脑筋的张同学发现,梯子$AB$的中点为$M$,当梯子底端从$B$向右滑动到点$D$的过程中,中点$M$到$O$的距离______$.(填变大、不变、变小)$张同学继续研究发现,在梯子$AB$沿着墙$OA$滑动过程中,$\angle OAB$的角平分线$AE$交$OB$于点$H$.

$(1)$如图（2）,过点$B$作$BE\bot AH$,交$AH$的延长线于点$E$,连接$OE$,在$AB$滑动的过程中,线段$OE$,$BE$有何数量关系,并说明理由；
$(2)$在$AB$滑动的过程中,$\triangle AOB$面积的最大值为______.