$(1)$如图$1$,已知:在$\triangle ABC$中,$AB=AC=10$,$BD$平分$\angle ABC$,$CD$平分$\angle ACB$,过点$D$作$EF$∥$BC$,分别交$AB$、$AC$于$E$、$F$两点,则图中共有______个等腰三角形；$EF$与$BE$、$CF$之间的数量关系是______,$\triangle AEF$的周长是______.
$(2)$如图$2$,若将（1）中"$\triangle ABC$中,$AB=AC$"改为"$AB\neq AC$"其余条件不变,则$EF$与$BE$、$CF$之间的数量关系?证明你的结论.
$(3)$已知:如图$3$,$D$在$\triangle ABC$外,$AB \gt AC$,且$BD$平分$\angle ABC$,$CD$平分$\triangle ABC$的外角$\angle ACG$,过点$D$作$DE$∥$BC$分别交$AB$、$AC$于$E$、$F$两点,则$EF$与$BE$、$CF$之间又有何数量关系______.