已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的顶点坐标是$\left(2,1\right)$,且这条抛物线和$x$轴的一个交点坐标是$B\left(3,0\right)$,另一个交点是$A$.
$(1)$求抛物线的函数表达式；
$(2)$求点$A$的坐标和对称轴；
$(3)$求当$-2 \lt x \lt 3$时,直接写出函数值的取值范围.