【问题背景】如图$1$,深圳市洪湖公园内有一大湖,湖心有一人造小岛,那是鸟儿们的乐园,湖四周各有一条步道.为了提升公园内人与自然的和谐品质,尽量避免人类活动影响鸟类生活,现对步道进行升级改造,要求步道离小岛至少$40$米.为了测得步道离岛的距离,施工人员计划实施如下方案:如图$2$,记小岛为点$P$,首先在笔直的步道$l_{1}$上找一处$A(AP\bot l_{1})$,一工人沿步道$l_{1}$从点$A$出发直走$80$米到达$B$处,又继续前行$80$米到达点$C$处,接着从$C$处沿与步道$l_{1}$垂直的方向行走,当到达$D$处时,$P$、$B$、$D$刚好在同一直线上,最后工人测得$CD$的长为$75$米.
请根据以上信息,回答下面的问题:
【问题探究】（1）求小岛离步道$l_{1}$的垂直距离$PA$.
【问题拓展】（2）在第（1）问的条件下,如图$3$,有相邻的另一条笔直步道$l_{2}$,小岛$P$到$l_{2}$的距离$PM=a$米,点$A$到$l_{2}$的距离$AN=\left(80-a\right)$米,在$MN$之间有一任意点$E$,当$PE+AE$的最小值为$100$米时,
①$MN=$______米（直接写出结果).
②为了避免人类活动影响鸟类生活,请问步道$l_{2}$是否符合要求?请用学过的数学知识说明原因.
【方法迁移】（3）若将$x$,$3-x$,$2$,$2$分别看作四条线段的长,结合图$2$,构造适当的几何图形求代数式
$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(3-x)^2+4}$的最小值为______$(直接写出)$.