定义:任意两个数$a$,$b$,按规则$c=\left(a+1\right)\left(b+1\right)$运算得到一个新数$c$,称所得的新数$c$为$a$,$b$的"和积数".
$(1)$若$a=4$,$b=-2$,求$a$,$b$的"和积数"$c$；
$(2)$若$ab=\frac{1}{2}$,$a^{2}+b^{2}=8$,求$a$,$b$的"和积数"$c$；
$(3)$已知$a=x+1$,且$a$,$b$的"和积数"$c=x^{3}+4x^{2}+5x+2$,求$b($用含$x$的式子表示）并计算$a+b$的最小值.