如图,抛物线$y=ax^{2}+bx+6$经过$A\left(-2,0\right)$、$B\left(4,0\right)$两点,与$y$轴交于点$C$,点$D$是抛物线上一动点,设点$D$的横坐标为$m\left(1 \lt m \lt 4\right)$,连接$AC$、$BC$、$DB$、$DC$.
$(1)$求抛物线的函数表达式.
$(2)$当$\triangle BCD$的面积等于$\triangle AOC$的面积的$\frac{3}{4}$时,求$m$的值.
$(3)$在（2）的条件下,若点$M$是$x$轴上一动点,点$N$是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点$M$,使得以点$B$、$D$、$M$、$N$为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点$M$的坐标；若不存在,请说明理由.