已知二次函数$y=x^{2}-2x-3$
$(1)$将$y=x^{2}-2x-3$化成$y=a\left(x-h\right)^{2}+k$的形式；
$(2)$该函数的图象与$y$轴的交点坐标是______,与$x$轴的交点坐标是______；
$(3)$在坐标系中画出该函数的图象:
$(4)$结合图象直接写出不等式$x^{2}-2x-3 \gt 0$的解集是______.