如图,一艘渔船正以$30$海里$/$时的速度由西向东追赶鱼群,在$A$处看见小岛$C$在船的北偏东$60^{\circ}$方向上,$40$分钟后,渔船行至$B$处,此时看见小岛$C$在渔船的北偏东$30^{\circ}$方向上.
$(1)$求$A$处与小岛$C$之间的距离；
$(2)$渔船到达$B$处后,航行方向不变,当渔船继续航行多长时间时才能与小岛$C$的距离最短.