$(1)$如图$1$,矩形$ABCD$,$AB=4$,$BC=10$,点$E$为$BC$边上一动点,$\angle AED=90^{\circ}$,且$BE \lt CE$,求$\frac{DE}{AE}$.
$(2)$如图$2$,矩形$ABCD$,点$E$为对角线$BD$上一动点,连接$AE$,作$AE\bot EF$,交$CD$的延长线于点$F$,连接$AF$.
①求证:$\triangle ABD$∽$\triangle EAF$；
②若$AB=AE$,求证:四边形$ABDF$为平行四边形.