阅读下列材料：
关于$x$的方程：$x+\dfrac{1}{x}=c+\dfrac{1}{c}$的解是$x_{1}=c$，$x_{2}=\dfrac{1}{c}$；$x-\dfrac{1}{x}=c-\dfrac{1}{c}($即$x+\dfrac{-1}{x}=c+\dfrac{-1}{c})$的解是$x_{1}=cx_{2}=-\dfrac{1}{c}$；$x+\dfrac{2}{x}=c+\dfrac{2}{c}$的解是$x_{1}=c$，$x_{2}=\dfrac{2}{c}$；$x+\dfrac{3}{x}=c+\dfrac{3}{c}$的解是$x_{1}=c$，$x_{2}=\dfrac{3}{c}$；…
$(1)$请观察上述方程与解的特征，比较关于$x$的方程$x+\dfrac{m}{x}=c+\dfrac{m}{c}(m≠0)$与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．
$(2)$由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于$x$的方程：$x+\dfrac{2}{x-1}=a+\dfrac{2}{a-1}.$