先阅读下面的材料，然后解答问题．
通过计算，发现：方程$x+\dfrac{1}{x}=2+\dfrac{1}{2}$的解为$x_{1}=2$，$x_{2}=\dfrac{1}{2}$；
方程$x+\dfrac{1}{x}=3+\dfrac{1}{3}$的解为$x_{1}=3$，$x_{2}=\dfrac{1}{3}$；
方程$x+\dfrac{1}{x}=4+\dfrac{1}{4}$的解为$x_{1}=4$，$x_{2}=\dfrac{1}{4}$；……
$(1)$观察猜想：关于$x$的方程$x+\dfrac{1}{x}=n+\dfrac{1}{n}$的解是 ______；
$(2)$利用你猜想的结论，解关于$x$的方程$x+\dfrac{1}{x-3}=a+\dfrac{1}{a-3}$；
$(3)$实践运用：对于关于$x$的方程$x-\dfrac{1}{x}=m-\dfrac{1}{m}$的解，小明观察得“$x_{1}=m$”是该方程的一个解，则方程的另一个解$x_{2}=$______，请利用上面的规律，求关于$x$的方程$\dfrac{x^{2}-x-1}{x-1}=m-\dfrac{1}{m-1}$的解．