对于任意四个有理数$a$,$b$,$c$,$d$,可以组成两个有理数对$\left(a,b\right)$与$\left(c,d\right)$.我们规定:$\left(a,b\right)\otimes \left(c,d\right)=bc-ad$.例如:$\left(1,2\right)\otimes \left(4,5\right)=2\times 4-1\times 5$.
根据上述规定解决下列问题:
$(1)$有理数对$\left(5,3\right)\otimes \left(-2,1\right)=$______；
$(2)$若有理数对$\left(2,3x-1\right)\otimes \left(6,x+2\right)=22$,则$x=$______；
$(3)$当满足等式$\left(4,k-2\right)\otimes \left(x,2x-1\right)=6$的$x$是整数时,求整数$k$的值.