阅读下题和解题过程：化简$|x-2|+1-2(x-2)$，使结果不含绝对值．
解：当$x-2\geqslant 0$时，即$x\geqslant 2$时，
原式$=x-2+1-2x+4=-x+3$；当x-2原式\(=-(x-2)+1-2x+4
$=-3x+7$
这种解题的方法叫“分类讨论法”．
$(1)$请你用“分类讨论法”解一元一次方程：$2(|x+2|-1)=x+3$；
$(2)$试探究：当$m$分别为何值时，方程$|2-x|=1-m$
①无解，②只有一个解，③有两个解．