如图$1$,$P\left(m,n\right)$是抛物线$y=\frac{1}{4}x^2-1$上任意一点,$l$是过点$\left(0,-2\right)$且与$x$轴平行的直线,过点$P$作直线$PH\bot l$,垂足为$H$.

【探究】
$(1)$填空:当$m=0$时,$OP=$______,$PH=$______；当$m=4$时,$OP=$______,$PH=$______；
【证明】
$(2)$对任意$m$,$n$,猜想$OP$与$PH$的大小关系,并证明你的猜想；
【应用】
$(3)$如图$2$,已知线段$AB=6$,端点$A$,$B$在抛物线$y=-\frac{1}{4}x^{2}-1$上滑动,求$A$,$B$两点到直线$l$的距离之和的最小值.