综合与探究
已知:如图①,在平面直角坐标系中,$A\left(0,a\right)$,$B\left(b,0\right)$,且$a$,$b$满足$\left(a-8\right)^{2}+|b+6|=0$,点$C$在$x$轴正半轴,$OC=OA$.动点$P$从点$B$出发,以$1$个单位长度$/$秒的速度沿$x$轴向点$C$运动,运动到点$C$停止,设$P$的运动时间为$t$秒,连接$AP$,过点$C$作$AP$的垂线交射线$AP$于点$M$,交$y$轴于点$N$.
$(1)$点$A$的坐标为______,点$B$的坐标为______；
$(2)$当点$P$在线段$OB$上时.如图②所示,求线段$ON$的长度（用含$t$的式子表示）；
$(3)$若$ON=2$,则$t$的值为______；
$(4)$若$AB=10$,是否存在以$AB$为腰的等腰三角形$ABP$?若存在,请直接写出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.