课本再现:
$(1)$如图$1$,四个全等的直角三角形拼成一个大正方形,中间空白部分也是正方形.已知直角三角形的两直角边长分别为$a$,$b$,斜边长为$c$.课堂上,老师结合图形,用不同的方式表示大正方形的面积,证明了勾股定理.请证明:$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
类比迁移
$(2)$现将图$1$中的两个直角三角形向内翻折,得到图$2$,若$a=3$,$b=4$,则空白部分的面积为______.
方法运用
$(3)$小贤将四个全等的直角三角形拼成图$3$的"帽子"形状,若$AH=3$,$BH=4$,请求出"帽子"外围轮廓（实线）的周长.
$(4)$如图$4$,分别以$Rt\triangle ABC$的三条边向外作三个正方形,连接$EC$,$BG$,若设$S_{\triangle EBC}=S_{1}$,$S_{\triangle BCG}=S_{2}$,$S_{正方形BCIH}=S_{3}$,则$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$之间的关系为______.