如图$1$,电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴,并标出了表示$-6$的点$A$.小明同学设计了一个电脑程序:点$M$,$N$分别从点$A$同时出发,每按一次键盘,点$M$向右平移$2$个单位长度,点$N$向左平移$1$个单位长度.例如,第一次按键后,屏幕显示点$M$,$N$的位置如图$2$.


$(1)$第______次按键后,点$M$正好到达原点；
$(2)$第$6$次按键后,点$M$到达的点表示的数字比点$N$到达的点表示的数字大多少?
$(3)$第$n$次按键后,点$M$,$N$到达的点表示的数互为相反数,求$n$的值.