在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l$过原点且经过第三、第一象限,$l$与$x$轴所夹锐角为$n^{\circ}$.对于点$P$和$x$轴上的两点$M$,$N$,给出如下定义:记点$P$关于直线$l$的对称点为$Q$,若点$Q$的纵坐标为正数,且$\triangle MNQ$为等边三角形,则称点$P$为$M$,$N$的$n^{\circ}$点.
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$(1)$如图$1$,若点$M\left(2,0\right)$,$N\left(4,0\right)$,点$P$为$M$,$N$的$45^{\circ}$点,连接$OP$,$OQ$.
①$\angle POQ=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$；
②求点$P$的纵坐标；
$(2)$已知点$M\left(m,0\right)$,$N\left(m+t,0\right)$.
①当$t=2$时,点$P$为$M$,$N$的$60^{\circ}$点,且点$P$的横坐标为$-2$,则$m=$______；
②当$m=-2$时,点$P$为$M$,$N$的$30^{\circ}$点,且点$P$的横坐标为$2$,则$t=\_\_\_\_\_\_.$