某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角,利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪,如图$1$所示.
$(1)$如图$2$,在$P$点观察所测物体最高点$C$,当量角器零刻度线上$A$,$B$两点均在视线$PC$上时,测得视线与铅垂线所夹的锐角为$\alpha$,设仰角为$\beta$,请直接用含$\alpha$的代数式表示$\beta$.
$(2)$如图$3$,为了测量广场上空气球$A$离地面的高度,该小组利用自制简易测角仪在点$B$,$C$分别测得气球$A$的仰角$\angle ABD$为$37^{\circ}$,$\angle ACD$为$45^{\circ}$,地面上点$B$,$C$,$D$在同一水平直线上,$BC=20m$,求气球$A$离地面的高度$AD.($参考数据:$\sin 37^{\circ}\approx 0.60,\cos 37^{\circ}\approx 0.80,\tan 37^{\circ}\approx 0.75)$