如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=kx+b$的图象与$y$轴的正半轴交于点$A$,与$x$轴交于点$B\left(2,0\right)$,三角形$\triangle ABO$的面积为$2$.动点$P$从点$O$出发,以每秒$1$个单位长度的速度在射线$OB$上运动,动点$Q$从$B$出发,沿$x$轴的正半轴于点$P$同时以相同的速度运动,过$P$作$PM\bot x$轴交直线$AB$于$M$.
$(1)$求直线$AB$的解析式.
$(2)$当点$P$在线段$OB$上运动时,设$\triangle MPQ$的面积为$S$,点$P$运动的时间为$t$秒,求$S$与$t$的函数关系式（直接写出自变量的取值范围).
$(3)$过点$Q$作$QN\bot x$轴交直线$AB$于$N$,在运动过程中$(P$不与$B$重合),是否存在某一时刻$t(秒)$,使$\triangle MNQ$是等腰三角形?若存在,求出时间$t$值.