近日,气温骤降,阿坝结斯沟雪山迎来了第一场雪,两队登山爱好者计划同一天出发,沿不同的路线自行前往山顶的营地汇合.甲队走$A$路线,全程$1200$千米,乙队走$B$路线,全程$1600$千米,由于$A$路线的路况没有$B$路线好,甲队每天行驶的路程是乙队的$\frac{1}{2}$,这样甲队比乙队晚$2$天到达营地.
$(1)$求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地?
$(2)$在他们的活动计划中,乙队每人每天的平均花费都为$135$元.甲队最开始计划有$8$个人同行,计划每人每天花费$300$元,后来又有$m$个人加入队伍,经过计算,甲队实际每增加$1$人时,每人每天的平均花费将减少$30$元.若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同,且旅行天数与各自原计划天数一致,两队共需花费$18720$元,求$m$的值.