已知:在$\odot O$中,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$\odot O$的半径为$4$,对角线$BD\bot AC$.
$(1)$如图$1$,若$AC$为$\odot O$的直径,$\angle BOD=120^{\circ}$,求$BD$的长；
$(2)$如图$2$,若$\angle CAD=2\angle BAC$,求证:$AC=AD$；
$(3)$如图$3$,过$D$作$DF\bot AB$,垂足为$F$,交$AC$于$E$,若$AE=4$,求$\widehat {BD}$的长.